Erre a filozófiai kérdésre még mindig nem találtak választ.
A matematika képes megjósolni a bolygók mozgását és a csillagok robbanásait, de tehetetlen egy gyerekes feladattal – a semmivel való osztással – szemben.
Talán a nullával való osztás egy repedés az elménk tükrén. Az a pont, ahol a matematikai logika a saját határaiba ütközik. Nézzünk be ezen határok mögé, és elemezzük ki, mi is romlik el olyankor, amikor nullával osztunk.
Szofizma, amely bebizonyította, hogy 1 = 2
Miért nem szabad nullával osztani? Mert az tönkretenné az egész számtant. Ha engedélyeznénk ezt az egyetlen műveletet, akkor matematikailag bármekkora hülyeséget be tudnánk bizonyítani.
Vegyünk egy klasszikus szofizmát. Itt lesz néhány képlet, de ígérem, hogy a lehető legegyszerűbbek lesznek.
Tegyük fel, hogy a = b. Szorozzuk meg mindkét oldalt a-val: így azt kapjuk, hogy a² = ab.
Vonjunk ki b²-t mindkét oldalból: a² − b² = ab − b². Ugye logikus? Teljesen!
Bontsuk tényezőkre: (a − b)(a + b) = b(a − b). Most pedig figyelem: osszuk el mindkét oldalt (a − b)-vel.
Eredményül kapjuk: a + b = b. Mivel a = b, helyettesítsük be: 2b = b. Osszuk el b-vel, és voilá: 2 = 1.
Hol a bökkenő? A negyedik lépésben elosztottuk az egyenletet (a − b)-vel.
De mivel a = b, így a különbségük nulla. A nullával való osztás hibája abszurditássá változtatta a matematikát. Minden szám egyenlővé vált egymással. Ezért nem szabad nullával osztani a matematikában: ez nem egy gonosz matektanár tilalma, hanem egy biztosíték a káosz ellen.
Nulla osztva nullával: amikor a túl sok válasz rosszabb, mintha egy sem lenne
Mi történik, ha egy hagyományos számot, például a tízet elosztjuk nullával? Zsákutca. Ha 10 / 0 = x, akkor teljesülnie kell a 10 = 0 × x egyenletnek. Nem létezik olyan szám, amelyik nullával szorozva tízet adna. Nincs megoldás.
A nullát nullával osztani viszont már egészen más tészta. Ha 0 / 0 = x, akkor 0 = 0 × x az eredmény. És ide bármilyen szám beillik! Öt, egy millió, mínusz tizenhét – mindegyik működik.
A 0 / 0 határozatlansága rosszabb egy egyszerű tilalomnál: itt ugyanis túl sok a helyes válasz.
Hogyan tett tönkre a nullával való osztás egy hadihajót
A programozásban a nullával való osztás komoly, valós problémákhoz vezethet.
1997-ben a USS Yorktown rakétacirkáló fedélzetén a legénység egyik tagja véletlenül beütött egy nullát az adatbázisba. A rendszer megpróbálta felhasználni ezt az értéket a számításokhoz, és összeomlott. A hajó számítógépes hálózata leállt, lezárva az összes üzemanyagszelepet. A hajtóművek leálltak.
A hatalmas hadihajó három órán keresztül tehetetlenül sodródott az óceánon. Vontatót hívtak. De végül a legénységnek sikerült újraindítania a rendszert a tengeren, és saját erőből visszatértek.
Egy számtani hiba harcképtelenné tett egy több száz millió dolláros hadieszközt.
A programozásban a nullával való osztás különböző reakciókat vált ki. Az egész számok azonnal megölik a programot – a processzor hardveres megszakítást generál, az operációs rendszer elkapja a vészjelzést, és bezárja az alkalmazást.
A törtszámok trükkösebbek. Az IEEE 754-es szabvány speciális Infinity (végtelen) vagy NaN (Not a Number – nem szám) értékeket ad vissza, hogy a számítások ne álljanak le. A program fut tovább, de a belsejében már fertőzött adatok keringenek. Ha egy ilyen NaN érték bekerül egy banki rendszerbe vagy egy repülőgép vezérlésébe, ott garantált a baj.
Miért lehet viszont a matematikában nullával szorozni?
Nullával szorozni azért lehet, mert ez a művelet logikus és kiszámítható: elvégre a „semmit” akárhányszor összeadhatod mindenféle paradoxon nélkül.
Ez egy megsemmisítő művelet, amely egyszerűen bármelyik, még a leghatalmasabb számot is egyetlen ponttá zsugorítja, eltörölve a nagyságára vonatkozó információkat. A matematika nyugodtan megengedi az ilyen hídégetést, hiszen valamiből semmit csinálni könnyű, és nem okoz számítási hibákat – kizárólag a fordított művelet (az osztás) tilos, amikor a kapott nullából varázsütésre vissza kellene állítani az eredeti számot.
Ahol a nulla győz: a matematika egzotikus világai
Léteznek olyan területek, ahol megengedett a nullával való osztás? Igen, de ott átírták a játékszabályokat.
A Riemann-gömbön a matematikusok egy végtelen síkot hajtogattak gömbbé. A végtelen minden iránya egyetlen pontban – az „Északi-sarkon” – fut össze. Ebben a geometriában az 1 / 0 = ∞ és az 1 / ∞ = 0 teljesen legálisan működik. A végtelen fizikai értelme így egy konkrét helyet kap a térben.
A matematikai analízisben pedig azt vizsgáljuk, mi történik a nullával való osztáskor, amikor a nevező a nulla felé tart.
Az y = 1/x függvény grafikonja megmutatja: jobbról közelítve az eredmény a plusz végtelenbe száll el, balról pedig a mínusz végtelenbe. A nullával való osztásnak nincs határértéke, mivel a két irány nem esik egybe.
Miért értelmetlen a nullával való osztás? Mert ez egy próbálkozás arra, hogy megkapjuk a mozgás eredményét magának a mozgásnak a hiányában. Kiszámítani az érkezési időt nulla sebesség mellett. Visszaállítani az információt az abszolút ürességből.
A nulla nem csupán egy nagyon apró szám. Ez a mennyiség hiánya. A „majdnem semmiből” a „teljes semmibe” való átmenet pedig nem egy fokozatos változás, hanem egy minőségi ugrás egy áthidalhatatlan szakadék felett.
Éppen ezért még a nullával való osztás problémája is hűen tükrözi a valóságunkat! A matematika itt sem hagyott cserben minket.
