Képzelj el egy hangyát, ahogy egy 1 kilométer hosszú gumikötélen mászik, 1 centiméter/másodperc sebességgel. Továbbá képzeld el, hogy a kötél minden másodpercben 1 kilométert nyúlik. Vajon a hangya eléri valaha is a kötél végét?
A legtöbben azt mondanák, hogy nem. Ha a hangya másodpercenként csak 1 centimétert halad, miközben a kötél 1 kilométerrel nyúlik, akkor az lehetetlen. A matematika azonban mást mond: a hangya igen is eléri a végét.
A szemléltetés kedvéért tegyük a hangyát a kötél közepére. Hagyjuk, hogy ott álljon, és ne mozduljon. Amikor a kötél egy másodperc alatt 1 kilométerrel megnyúlik, a hangya továbbra is a kötél közepén marad. És egy másodperc múlva is. Végül is a kötél mindkét irányba nyúlik, nem csak az egyik irányba. Ha most elindítjuk a hangyát, kiderül, hogy már túljutott a kötél felén, és lassan (katasztrofálisan lassan, ha pontosak akarunk lenni), de biztosan halad a cél felé.
Valójában a feladat meglehetősen bonyolult, és nem iskolás gyerekeknek való, mivel sorozatokkal van dolgunk. Azonban vessünk egy pillantást a lényegre a bizonyítás elmélyítése nélkül.
Tehát a kötél kezdeti hossza 1 km = 1000 m = 100 000 cm.
Az első másodpercben a hangya 1 centimétert mászik meg, azaz a kötél 1/100 000 részét. A második másodpercben, miután a kötél 1 kilométerrel megnyúlt, a kötél 1/200 000 részét mássza meg, és így tovább.
Összegezzük és megkapjuk: 1/100 000 + 1/200 000 + 1/300 000 + … = 1/100 000 • (1+1/2+1/3+1/4+…)
A figyelmes olvasó észreveheti, hogy a zárójelben egy végtelen, szétterülő sorozatot kaptunk. Ennek összege folyamatosan növekszik a végtelen felé, ami azt jelenti, hogy előbb-utóbb a hangya mégiscsak tényleg eléri a kötél végét.
Csakhogy ez a sorozat nagyon lassan növekszik, az első száz tag összege alig haladja meg az 5-öt.
Tehát amikor azt mondjuk, hogy a hangya eléri a kötél végét, egy kis fenntartással kell kezelnünk: a hangyának halhatatlannak kell lennie. Ahogy az Univerzumunknak is, ami normál állapotban véve valószínűleg hamarabb hunyna ki, minthogy a hangya elérje a kötél végét.
Ha tetszett a feladat, akkor felteszek egy másik kérdést: próbáld meg kiszámolni, hogy mennyi időbe telik, amíg a hangya eléri a kötél végét!
A BEJEGYZÉS A HIRDETÉS ALATTI GOMBBAL FOLYTATÓDIK
9 hozzászólás
itt 10%-át teszi meg az útnak (10 lépés ha nem nyújtja az utat)
A 12377-dik lépéssel éri el a kötél végét, mely ekkor már 12 378 000 (kezdeti 1000-ről) Ha centis lépésekkel számolunk, akkor 123 780 cm avagy 1 237,8 méter. a 10 centis kötélből. és természetesen 3:26:18 míg megteszi a távolságot... Tudtommal ennyit kibír egy hangya... igaz, picit rövidebb a kötél...
Ez esetben 1 másodperc után van egy 2 km hosszú kötél, amelyen a hangya megtett már 2 cm-t (mert a mögötte lévő rész is megnyúlt a kétszeresére) és már csak 1998 cm van neki hátra. Megtesz még egy centit, vagyis 3 cm-nél lenne, de a kötél megnyúlik egy kilométerrel (a másfélszeresére), így 4,5 cm-nél jár, 2995,5 cm van hátra. Látható, hogy arányaiban, ha kicsit is, de közeledett a végéhez, és ez így folytatódik... sok-sok éven át :D
A paradoxon azért tűnik képtelenségnek, mert alapból nem számolunk azzal, hogy a növekmény mögötte is egyre nagyobb, vagyis az arányok, ha csigalassan is, de folyamatosan a hangyának kedveznek, és félút után már mögöte nyúlik jobban a kötél, nem előtte...