Egy szám. Mellette egy aprócska számjegy, ami nem a jobb felső sarokban volt (ahogy a hatványoknál megszokott), hanem a bal oldalon. Azonnal csináltam egy képernyőképet, elküldtem a barátomnak azzal a kísérőszöveggel, hogy „ez meg mi a fene?”, és két óra múlva megkaptam a választ: „Fogalmam sincs, lol”.
Mindkettőnknek mérnöki végzettsége van — és ez különösen kínossá tette a helyzetet.
Végül éjfélkor elmerültem a dilemmában (ez a lehető legrosszabb időpont arra, hogy agyzsibbasztó dolgokat tanulj). Íme, mit derítettem ki — úgy magyarázom el neked, ahogy szerettem volna, ha nekem is elmagyarázzák.
Először is tisztázzuk, mik azok a hatványok. Azt hittem, értem őket, de kiderült, hogy csak részben.
10² = 100. Két nulla. Világos.
10³ = 1000. Három nulla. Ez is érthető.
De van valami, ami sosem esett le nekem az iskolában: az ezen számok közötti átmenet egy hirtelen ugrás. A 100 és az 1000 közötti különbség nem egyszerűen „+900”. Képzeld el, hogy a havi fizetésed 500 000 forintról 5 000 000 forintra nő. Nem azt fogod mondani: „Hoppá, hozzájött 4,5 millió.” Az életed gyökeresen megváltozik. Pedig ez csak egyetlen nulla hozzáadása — a hatványkitevő eggyel történő növelése.
Minden alkalommal, amikor a hatványkitevő 1-gyel nő, a szám nem egyszerűen csak nagyobb lesz — hanem megszorozza önmagát. A szakadék minden lépéssel egyre nagyobbra nő.
Ezt elvileg tanultuk. Ezt mindenki tanulta.
Amit viszont nem tanultam meg (és úgy tűnik, a többség sem) — mi történik akkor, ha az a kis számjegy a jobb oldal helyett a bal oldalra kerül.
Ezt tetrációnak hívják. Négyszer kellett újraolvasnom a magyarázatot, hogy egyáltalán felfogjam a lényeget.
- Ha a kis szám a jobb felső sarokban van, az azt mutatja meg, hogy hányszor kell a számot önmagával megszorozni.
- Ha viszont a bal oldalon van, az azt jelzi, hogy hányszor kell hatványra emelni.
Például a ³10 (a 10 harmadik tetrációja) nem azt jelenti, hogy 10 × 10 × 10.
Hanem ezt: 10^(10¹⁰).
A 10¹⁰ pedig 10 milliárdot jelent.
Így lényegében a 10-et a 10 milliárdodik hatványra emeljük, vagyis egy 1-est kapunk 10 milliárd nullával a végén.
Leírtam ezt a mondatot, és még magamnak sem hittem el, úgyhogy újra leellenőriztem. De igen, tényleg: egy 1-es, utána pedig 10 milliárd nulla.
Hogy érezd a léptéket:
A megfigyelhető világegyetem atomjainak száma nagyjából 10⁸⁰ (egy 1-es, utána 80 nulla). A tudósok ezt a számot használják, amikor azt akarják mondani, hogy „ez gyakorlatilag minden, ami létezik”.
A 10 harmadik tetrációja viszont egy 1-es, 10 milliárd nullával a végén. Nem 80, hanem tízmilliárd nullával.
Képzeld el, hogy úgy döntesz, egész életedben csak nullákat írsz — minden nap minden másodpercében. Te meghalsz. A gyerekeid is meghalnak. Generációk múlnak el. A Nap feléli minden energiáját — de te még mindig nem érnél a végére.
Egy ekkora szám egyszerűen nem fér el a világegyetemben. Túllép minden emberi felfogóképességen — ezen a szinten már maga a nyelv is csődöt mond.
És ez még csak a ³10 — egy szerénynek tűnő leírás egy kis hármassal a bal oldalon.
A tetráció felett jön a pentáció, utána pedig a hexáció. Minden egyes következő szint pontosan azt csinálja az őt megelőzővel, amit a tetráció csinál a hatványozással. A létra egyre magasabbra nyúlik, és a felső fokokról már senki sem beszél — mert az ottani számok minden értelmüket elveszítik az emberi elme számára.
De vajon miért nem tanuljuk ezt az iskolában?
A kelleténél többet gondolkodtam ezen. A gyakorlati válasz egyszerű: az ilyen számoknak szinte semmilyen alkalmazása sincs a való világban. Soha nem fogsz megmérni velük semmit; egyetlen fizikai egyenlethez sincs szükség rájuk. Túl nagyok ahhoz, hogy a szó klasszikus értelmében hasznosak lehessenek.
De ami engem zavar: az iskolában egy csomó olyan dolgot tanulunk, amit szintén nem használunk a gyakorlatban. Mikor használtam utoljára a koszinusztételt? Tudom, mi az a gerundium, de felnőtt életemben még egyszer sem volt szükségem erre a tudásra.
Ennek ellenére mégis megtanuljuk őket. Mert az oktatás nem pusztán a hasznosságról szól. Szélesítenie kell a látókörünket, és meg kell mutatnia, hogy a világ sokkal nagyobb és furcsább annál, mint amilyennek a mindennapi rutinunk során tűnik.
A tetráció pontosan egy ilyen példa. Ez egy ablak arra, hogy a matematika milyen elképesztő sebességgel képes túllépni az emberi intuíció határain. Ezek a számok valóságosak: nem absztraktak, nem kaotikusak — szigorú szabályoknak engedelmeskednek, lehet velük dolgozni, össze lehet őket hasonlítani és elemezni is lehet őket. Egyszerűen csak olyan léptékű struktúrákat képviselnek, amiket az agyunk képtelen felfogni.
Van ebben valami filozofikus: olyan számok léteznek, amelyeket lehetetlen leírni — és nem azért, mert még nem találtunk ki rájuk módszert, hanem azért, mert a világegyetem fizikailag túl kicsi ahhoz, hogy befogadja az összes számjegyüket.
Egyfolytában arra a képernyőképre gondolok, amit a barátomnak küldtem. Két műszaki végzettségű ember, és egy teljesen szabványos matematikai jelölés számunkra is teljesen idegen volt. Ráadásul ez nem valami ultramodern tudomány — hanem egy bevett fogalom, ami már a 20. század eleje óta létezik.
Nem gondolom, hogy kudarcot vallottunk volna. Egyszerűen csak megmutatták nekünk a létra legelső fokait, aztán úgy döntöttek, hogy ennyi pont elég is lesz.
Lehet, hogy a feladatok többségéhez ez tényleg elég is.
De kár, hogy senki sem mutatott felfelé, hogy legalább annyit mondjon: „A létra még folytatódik, és ami ott van, az konkrétan fel fogja robbantani az agyadat.”
Próbára akarod tenni magad? Számold ki a ²2-t — ez egy elég kis szám ahhoz, hogy fejben is ki tudd számolni. Aztán próbálkozz meg a ³2-vel — ezzel még talán szintén elboldogulsz. Utána pedig gondolkodj el azon, vajon mire lenne szükség a ⁴2 kiszámításához.
Írd meg kommentben, aztán menj és foglalkozz valami hétköznapi dologgal. Megérdemled.
